Distribució binomial
Funció de distribució de probabilitat | |
Tipus | Distribució binomial de Poisson, Panjer distribution (en) , Distribució multinomial, distribució univariant i distribució de probabilitat discreta |
---|---|
Paràmetres | nombre d'assaigs (sencer) probabilitat d'èxit (real) |
Suport | |
FD | |
Esperança matemàtica | |
Mediana | o [1] |
Moda | o |
Variància | |
Coeficient de simetria | |
Curtosi | |
Entropia | |
FGM | |
FC | |
Mathworld | BinomialDistribution |
En Teoria de la probabilitat i en estadística, una variable aleatòria es diu que té una distribució binomial de paràmetres i si representa el nombre d'èxits en repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit . Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres i .
La distribució binomial és la base de la popular prova binomial de significació estadística.[2]
Va ser proposada pel matemàtic i físic suís Jacob Bernoulli.[3]
Distribució de Bernoulli
[modifica]Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment que pot donar-se amb probabilitat La realització de l'esdeveniment s'anomena èxit. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no ), la realització del qual s'anomena fracàs, per és clar que
Així, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs.
Exemples d'experiències de Bernoulli
- Es llança una moneda, l'esdeveniment A podria ser "que surti cara".
- En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdeveniment A podria ser "treure bola blanca".
- En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser "que surti Sí".
Distribució binomial
[modifica]La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment ) quan es repeteix vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.
Per n = 1, la distribució binomial és una distribució de Bernoulli.
Designem per X la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:
Exemples
[modifica]Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:
- Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de sisos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
- Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim
- Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat de moure's una unitat de distància cap enrere i de moure's una unitat cap endavant. Després de moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial .
Propietats característiques
[modifica]Mitjana i Variància
[modifica]Sigui una variable aleatòria binomial de paràmetres i .
Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que X és la suma de n variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança p. És a dir, si són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre p, aleshores i, atès que tindrem que D'altra banda, per a una variable de Bernoulli, d'on Llavors, de la independència de , es dedueix que
Funció de probabilitat
[modifica]Sigui una variable aleatòria binomial de paràmetres i . Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament èxits en repeticions (proves) independents de Bernouilli és:
on és el coeficient binomial.
Així, la funció de probabilitat de és
Funció de distribució
[modifica]
on denota la part entera de .
Exemple
[modifica]Suposem que tenim una moneda trucada amb probabilitat 0.3 que surti cara. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és
Aproximació de la distribució binomial per les distribucions de Poisson i normal
[modifica]Si tendeix a infinit i és tal que , llavors la distribució d'una variable aleatòria binomial de paràmetres i tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre .
D'altra banda, pel teorema central del límit, quan n és gran (normalment s'exigeix que ) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.
Propietats reproductives
[modifica]Donades m variables binomials independents , i = 1, ..., m, de paràmetres i , respectivament, la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres i , és a dir,
Referències
[modifica]- ↑ Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistica & Probability Letters. 23 21-25.
- ↑ Westland, J. Christopher. Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession. Chicago, IL, USA: Springer, 2020, p. 53. ISBN 978-3-030-49091-1.
- ↑ Cervigon, Francesc La-Roca. Estadística aplicada a les ciències socials. Universitat de València, 2011-11-28, p. 191. ISBN 978-84-370-8650-7.