ข้ามไปเนื้อหา

ทรงกลม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี


ทรงกลม
ภาพฉายของทรงกลมลงเป็นสองมิติ
ชนิดพื้นผิวเรียบ
พื้นผิวเชิงพีชคณิต
ลักษณะออยเลอร์2
กรุปสมมาตรO(3)
พื้นที่ผิว4πr2
ปริมาตร4/3πr3

ทรงกลม (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ σφαῖρα, sphaîra) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง r เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลางทรงกลม (centre) และค่า r เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฎขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์

สมการของทรงกลม

[แก้]

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (x0, y0, z0) และรัศมี r คือทางเดินของจุด (x, y, z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง[1]

ให้ a, b, c, d, e เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง a ≠ 0 และกำหนด

แล้วจะได้ว่าสมการ

ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ คือจุด และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่ สมการ เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ และมีรัศมีเท่ากับ [2]

ถ้า a ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์[3]

สมบัติของทรงกลม

[แก้]

ปริมาตร

[แก้]
Sphere and circumscribed cylinder

ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

เมื่อ r คือรัศมี และ d คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน[4] เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle)[5] นอกจากนี้อาจใช้แคลคุลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

พื้นที่ผิว

[แก้]

พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี r คือ

อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้[6] โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่[7]

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน[8] ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ

[แก้]

ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน[9] มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

หมายเหตุและอ้างอิง

[แก้]

หมายเหตุ

[แก้]

อ้างอิง

[แก้]
  1.  Chisholm, Hugh, บ.ก. (1911). "Sphere" . สารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1911. Vol. 25 (11 ed.). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. pp. 647–648.
  2. Albert 2016, p. 54.
  3. Woods 1961, p. 266.
  4. Steinhaus 1969, p. 223.
  5. "The volume of a sphere – Math Central". mathcentral.uregina.ca. สืบค้นเมื่อ 2019-06-10.
  6. เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Sphere" จากแมทเวิลด์.
  7. Steinhaus 1969, p. 221.
  8. Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84 (6): 1187. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14553-4. สืบค้นเมื่อ 14 December 2019.
  9. Albert 2016, p. 60.

ดูเพิ่ม

[แก้]