Ориентированный граф

Ориентированный граф (кратко орграф) — (мульти) граф, рёбрам которого присвоено направление. Направленные рёбра именуются также дугами, а в некоторых источниках (Оре) и просто рёбрами.

Основные понятия

Формально, орграф D=(V, E) есть множество E упорядоченных пар вершин $u,v\in V$.

Дуга {u, v} инцидентна вершинам u и v. При этом говорят, что u — начальная вершина дуги, а v — конечная вершина.

Орграф, полученный из простого графа ориентацией ребер, называется направленным. В отличие от последнего, в произвольном простом орграфе две вершины могут соединяться двумя разнонаправленными дугами.

Направленный полный граф называется турниром.

Связность

Маршрутом в орграфе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг, вида $v_{0}\{v_{0},v_{1}\}v_{1}\{v_{1},v_{2}\}v_{2}...v_{n}$ (вершины могут повторяться). Длина маршрута — количество дуг в нем.

Путь есть маршрут в орграфе без повторяющихся дуг, простой путь — без повторяющихся вершин. Если существует путь из одной вершины в другую, то вторая вершина достижима из первой.

Контур есть замкнутый путь.

Для полумаршрута снимается ограничение на направление дуг, аналогично определяются полупуть и полуконтур.

Орграф сильно связный, или просто сильный если все его вершины взаимно достижимы; односторонне связный, или просто односторонний если для любых двух вершин, по крайней мере одна достижима из другой; слабо связный, или просто слабый, если при игнорировании направления дуг получается связный (мульти)граф;

Максимальный сильный подграф называется сильной компонентой; односторонняя компонента и слабая компонента определяются аналогично.

Конденсацией орграфа D называют орграф D*, вершинами которого служат сильные компоненты D, а дуга в D* показывает наличие хотя бы одной дуги между вершинами, входящими в соответствующие компоненты.

Дополнительные определения

Направленный ациклический граф или гамак есть бесконтурный орграф.

Ориентированный граф, полученный из заданного сменой направления ребер на противоположное, называется обратным.

Изображение и свойства всех орграфов с тремя узлами

Легенда: С — слабый, ОС — односторонний, СС — сильный, Н — является направленным графом, Г — является гамаком (ациклический), Т — является турниром

0 дуг	1 дуга	2 дуги	3 дуги	4 дуги	5 дуг	6 дуг
пустой, Н, Г	Н, Г		ОС	CC	CC	полный, CC
		ОС, Н, Г	CC, Н, Т	CC
		C, Н, Г	ОС, Н, Г, Т	ОС
		C, Н, Г	ОС	ОС

Применение орграфов

Орграфы широко применяются в программировании как способ описания систем со сложными связями. К примеру, одна из основных структур, используемых при разработке компиляторов и вообще для представления компьютерных программ — граф потоков данных.

Бинарные отношения

орграф отношения делимости

Бинарное отношение над конечным носителем может быть представлено в виде орграфа. Простым орграфом представимы антирефлексивные отношения, в общем случае требуется орграф с петлями. Если отношение симметрично, то его можно представить неориентированным графом, а если антисимметрично, то направленным графом.

Литература

• Харари Ф. Теория графов. — М.: УРСС, 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.
• Оре, Ойстин. Теория графов. — М.: УРСС, 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
• Альфред В. Ахо, Моника С. Лам, Рави Сети, Джеффри Д. Ульман. Компиляторы: принципы, технологии и инструменты, 2 издание = Compilers: Principles, Techniques, and Tools. — 2 изд. — М.: «Вильямс», 2008. — ISBN 978-5-8459-1349-4.